勾股容方圎论

勾股容方圎论

凡竒零不齐之数，凖之于齐，圎凖之于方。不齐之圎，凖于齐之圎，不齐之方，凖于齐之方。勾股容圎，凖于勾股容方。假令勾五、股五、弦七，有竒，此为整方，均齐无较之勾股，其容方径该得勾之半。盖容方积得勾股全积四分之一。其取全积时，勾股分在两㢘，则勾五、股五，五五二十五内一半为勾积，一半为股积。其求容方，则并勾股为縦，一㢘得十，为长之数，得濶二五，与原勾相半。盖始?则一半勾积，一半股积，横列之而为正方；及取容方，则股积在上，勾积在下，而为长方矣。其容方所以止得半勾者，则以勾股之数均也。若勾短股长，则容方以渐而濶，不止扵半勾矣。故大半为股积，小半为勾积。其始横列时，勾积与股同长而不同濶。其从列时，则股积之濶如故，而勾积截长以为濶，则濶与股积同，而长与股积异，与横列正相反。此变长为濶而取容方之法也。其谓之勾积、股积者，从容方径与勾股相乗之数而名之也。若取容圎径，则用勾股自之而倍其数，以勾股与弦并为法。盖容圎之径多于容方，方有四角，与弦相碍，故其数少；圎循弦宛转，故其数多。若以求容方与求容圆相比，则积中恰少一叚。圎径与半弦和较相乗之数，弦和较者，勾股并与弦相较之数也。假令勾五、股五相乗，亦倍之，得五十。如求容方，则亦倍勾股为法，得二十，亦恰得二寸五分之径。如求容圎，则不用倍勾股为法，而用一勾股并与一弦，是以一弦代一勾股并也。以一弦代一勾股并，恰少一弦和较，加一弦和较，则亦两勾股矣。假令一勾股得十，倍勾股得二十，是取容方之径。一勾股得十，一弦得七，恰少一弦和较三，是取容圎之径。其所以少一弦和较者，圎径多于方径也。假令取容圎，不用勾股倍积，而止用勾股本积，则宜用勾股并为㢘，而除去半弦和较亦得。或约得圎径之后，与半弦和较相乗添积，而以勾股并为㢘，不除亦得。或用勾股倍积，用两勾股相并为㢘，而以全弦和较与约得圎径相乗，添积亦得。此改方为圎之妙，其机括只寓之于弦和较间也。至于勾股积与弦积，亦只于勾股较中求之，盖数起于?伍，?伍起于畸零不齐也。假令股五勾五齐数之勾股，则勾股幕倍之，即得弦幕，盖两勾股积而成弦积也。至于勾短股长相乗之积，则成一长方，倍之而弦侧不当中径，亦不成弦幕，惟以一勾股较积补之，乃能使长，方为一正方，而得弦积。盖勾股之差愈逺，则长方愈狭，长方愈狭，则勾股之差积愈多。故勾股差者，所以权长方不及正方之数，以相?辏，此补狭为方之法也。