勾股容方圎論

勾股容方圎論

凡竒零不齊之數，凖之於齊，圎凖之於方。不齊之圎，凖於齊之圎，不齊之方，凖於齊之方。勾股容圎，凖於勾股容方。假令勾五、股五、弦七，有竒，此為整方，均齊無較之勾股，其容方徑該得勾之半。盖容方積得勾股全積四分之一。其取全積時，勾股分在兩㢘，則勾五、股五，五五二十五内一半為勾積，一半為股積。其求容方，則併勾股為縦，一㢘得十，為長之數，得濶二五，與原勾相半。盖始?則一半勾積，一半股積，横列之而為正方；及取容方，則股積在上，勾積在下，而為長方矣。其容方所以止得半勾者，則以勾股之數均也。若勾短股長，則容方以漸而濶，不止扵半勾矣。故大半為股積，小半為勾積。其始横列時，勾積與股同長而不同濶。其從列時，則股積之濶如故，而勾積截長以為濶，則濶與股積同，而長與股積異，與横列正相反。此變長為濶而取容方之法也。其謂之勾積、股積者，從容方徑與勾股相乗之數而名之也。若取容圎徑，則用勾股自之而倍其數，以勾股與弦併為法。盖容圎之徑多於容方，方有四角，與弦相礙，故其數少；圎循弦宛轉，故其數多。若以求容方與求容圓相比，則積中恰少一叚。圎徑與半弦和較相乗之數，弦和較者，勾股併與弦相較之數也。假令勾五、股五相乗，亦倍之，得五十。如求容方，則亦倍勾股為法，得二十，亦恰得二寸五分之徑。如求容圎，則不用倍勾股為法，而用一勾股併與一弦，是以一弦代一勾股併也。以一弦代一勾股併，恰少一弦和較，加一弦和較，則亦兩勾股矣。假令一勾股得十，倍勾股得二十，是取容方之徑。一勾股得十，一弦得七，恰少一弦和較三，是取容圎之徑。其所以少一弦和較者，圎徑多於方徑也。假令取容圎，不用勾股倍積，而止用勾股本積，則宜用勾股併為㢘，而除去半弦和較亦得。或約得圎徑之後，與半弦和較相乗添積，而以勾股并為㢘，不除亦得。或用勾股倍積，用兩勾股相併為㢘，而以全弦和較與約得圎徑相乗，添積亦得。此改方為圎之妙，其機括只寓之於弦和較間也。至於勾股積與弦積，亦只於勾股較中求之，盖數起於?伍，?伍起於畸零不齊也。假令股五勾五齊數之勾股，則勾股幕倍之，即得弦幕，盖兩勾股積而成弦積也。至於勾短股長相乗之積，則成一長方，倍之而弦側不當中徑，亦不成弦幕，惟以一勾股較積補之，乃能使長，方為一正方，而得弦積。盖勾股之差愈逺，則長方愈狹，長方愈狹，則勾股之差積愈多。故勾股差者，所以權長方不及正方之數，以相?輳，此補狹為方之法也。