九章算術卷八

九章算術卷八

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉　勅注釋

方程。

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗。上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗。上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？

荅曰：上禾一秉九斗四分斗之一。

中禾一秉四斗四分斗之一。

下禾一秉二斗四分斗之三。

方程術曰：置上禾三秉，中禾二秉、下禾一秉，實三十九斗於右方，中、左禾列如右方。以右行上禾徧乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者，而以直除左方下禾不盡者，上爲法，下爲實。實卽下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實，餘如中禾秉數而一，卽中禾之實。求上禾，亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實，餘如上禾秉數而一，卽上禾之實。實皆如法，各得一斗。

今有上禾七秉，損實一斗，益之下禾二秉，而實十斗，下禾八秉，益實一斗，與上禾二秉，而實十斗。問上、下禾實一秉各幾何？

荅曰：

上禾一秉實一斗五十二分斗之十八。下禾一秉實五十二分斗之四十一。

術曰：如方程，損之曰益，益之曰損。損實一斗者，其實過十斗也。益實一斗者，其實不滿十斗也。

今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，實皆不滿斗。上取中，中取下，下取上，各一秉，而實滿斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？

荅曰：

上禾一秉實二十五分斗之九，

中禾一秉實二十五分斗之七，

下禾一秉實二十五分斗之四。

術曰：如方程。各置所取，以正負術入之。正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。

今有上禾五秉，損實一斗一升，當下禾七秉。上禾七秉，損實二斗五升，當下禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？

荅曰：

上禾一秉五升，

下禾一秉二升。

術曰：如方程置上禾五秉正，下禾七秉負，損實一斗一升正。次置上禾七秉正，下禾五秉負，損實二斗五升正。以正負術八之，

今有上禾六秉，損實一斗八升，當下禾十秉。下禾十五秉，損實五升，當上禾五秉。問上、下禾實一秉各幾何？

荅曰：上禾一秉實八升，

下禾一秉實三升。

術曰：如方程，置上禾六秉正，下禾十秉負，損實一斗八升正。次置上禾五秉負，下禾十五秉正，損實五升正。以正、負術入之。

今有上禾三秉，益實六斗，當下禾十秉。下禾五秉，益實一斗，當上禾二秉。問上、下禾實一秉各幾何？

荅曰：

上禾一秉實八斗，

下禾一秉實三斗。

術曰：如方程，置上禾三秉正，下禾十秉負，益實六斗正。次置上禾二秉負，下禾五秉正，益實一斗正。以正負術入之。今有牛五、羊二直金十兩，牛二、羊五直金八兩。問牛、羊各直金幾何？

荅曰：

牛一直金一兩二十一分兩之十三。羊一直金二十一分兩之二十。

術曰：如方程。今有賣牛二、羊五，以買十三豕，有餘錢一千。賣牛三、豕三，以買九羊，錢適足。賣羊六、豕八，以買五牛，錢不足六百。問牛、羊、豕價各幾何？

荅曰：

牛價一千二百，

羊價五百，

豕價三百。

術曰：如方程，置牛二、羊五正，豕十三負，餘錢數正。次置牛三正，羊九負，豕三正。次置牛五負，羊六正，豕八正，不足錢負。以正負術入之。

今有五雀、六燕集，稱之衡，雀俱重，燕俱輕。一雀一燕交而處衡適平，并燕、雀重一斤。問燕、雀一枚各重幾何？荅曰：

雀重一兩十九分兩之十三，

燕重一兩十九分兩之五。

術曰：如方程交易質之，各重八兩。

今有甲乙二人持錢，不知其數，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而亦錢五十。問甲、乙持錢各幾何？

荅曰：

甲持三十七錢半，

乙持二十五錢。

術曰：如方程損妓之。

今有二馬一牛，價過一萬，如半馬之價。一馬二牛，價不滿一萬，如半牛之價。問牛、馬價各幾何？

荅曰：

馬價五千四百五十四錢十一分錢之六。

牛價一千八百一十八錢十一分錢之二。

術曰：如方程損益之。今有武馬一匹，中馬二匹，下馬三匹，皆載四十石至阪，皆不能上。武馬借中馬一匹，中馬借下馬一匹，下馬借武馬一匹，乃皆上。問武、中、下馬一匹各力引幾何？

荅曰：

武馬一匹力引二十二石七分石之六；中馬一匹力引十七石七分石之一，下馬一匹力引五石七分石之五。術曰：如方程，各置所借，以正負術入之。

今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆：各得所不足一綆。皆逮。問井深、綆長各幾何？

荅曰：井深七丈二尺一寸。

甲綆長二丈六尺五寸。

乙綆長一丈九尺一寸。

丙綆長一丈四尺八寸。丁綆長一丈二尺九寸。

戊綆長七尺六寸。

術曰：如方程，以正負術入之。

今有白禾二步，靑禾三步，黃禾四步，黑禾五步，實各不滿斗。白取靑，黃靑取黃黑，黃取黑白，黑取白，靑，各一步。而實滿斗。問白、靑、黃、黑禾實一步各幾何？

荅曰：

白禾一步實一百一十一分斗之三十三。

靑禾一步實一百一十一分斗之二十八。

黃禾一步實一百一十一分斗之十七。黑禾一步實一百一十一分斗之十。術曰：如方程。各置所取，以正負術入之。

今有甲禾二秉，乙禾三秉，丙禾四秉，重皆過於石。甲二重如乙一，乙三重如丙一，丙四重如甲一。問甲、乙、丙禾一秉各重幾何？

荅曰：

甲禾一秉重二十三分石之十七；乙禾一秉重二十三分石之十一。丙禾一秉重二十三分石之十。

術曰：如方程置重過於石之物爲負，以正負術入之。

今有令一人，吏五人，從者十人，食雞十；令十人，吏一人，從者五人，食雞八；令五人，吏十人，從者一人，食雞六。問令、吏、從者食雞各幾何？

荅曰：

令一人食一百二十二分雞之四十五，吏一人食一百二十二分雞之四十一，從者一人食一百二十二分雞之九十七。

術曰：如方程，以正負術入之。

今有五羊四犬，三雞二兔，直錢一千四百九十六；四羊二犬、六雞三兔，直錢一千一百七十五；三羊一犬、七雞五兔，直錢九百五十八；二羊三犬、五雞一兔，直錢八百六十一。問羊、犬、雞、兔價各幾何？

荅曰：

羊價一百七十七，

犬價一百二十一，

雞價二十三，

兔價二十九。

術曰：如方程，以正負術入之。

今有麻九斗，麥七斗，菽三斗，荅二斗，黍五斗，直錢一百四十；麻七斗，麥六斗，菽四斗，荅五斗，黍三斗，直錢一百二十八，麻三斗，麥五斗，菽七斗，荅六斗，黍四斗，直錢一百一十六，麻二斗，麥五斗，菽三斗。答：九斗，黍四斗，直錢一百一十二，麻一斗，麥三斗，菽二斗，荅八斗，黍五斗，直錢九十五。問一斗直幾何？

荅曰：

麻一斗七錢，

麥一斗四錢，

菽一斗三錢，荅一斗五錢，

黍一斗六錢。

術曰：如方程。以正負術入之。

九章算術卷八訂訛

休寧載震東原

術曰：置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，實三十九斗於右方，中左禾列如右方。以右行上禾徧乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。

然以中行中禾不盡者，徧乘左行，

用算繁而不省，所以别爲法約也。然猶不如自用其舊廣異法也。益行、減行，當各以其類矣。其異名者，非其類也。非其類者，猶無對也，非所得減也。故赤用黑對則除，黑無對則除，赤、赤、黑并於本數，此爲相益之，皆所以爲消奪。消奪之與減益成一實也。

正無入，負之

無入，爲無對也。無所得減，則使消奪者居位也。其當以列實或減下實。此條異名相除爲例，故亦與上條互取。凡正負，所以記其同異，使二品互相取而已矣。言負者未必負於少，言正者未必正於多，故每一行之中，雖復赤、黑異算，無傷，然則可得使頭位常相與異名，此條之實兼通矣。遂以二條反覆一率，觀其每與上下互相取位，則隨算而言耳，猶一術也。又本設諸行，欲因減數以相去耳，故其多少無限，令上下相命而已。若以正負相減，如數有舊增法者，每行可均之，不但數物左右之也。

此中行買賣相折錢適足，但互買賣算而已，故下無錢直也。設欲以此行如方程法，先令牛二徧乘左行，而以右行直除之，是終於下實虚缺矣。故注曰正無實負，負無實正，方爲類也。方將以别實，加不足之數，與實物作實，此四雀一燕與一雀五燕，衡適平，并重一斤，故各八兩。列兩行程數，左行頭位，其數是一，可省乘，令右行徧乘左行，而取其法實於左。左行數多，以右行取其數，左頭位，減盡中法，下實卽每枚當重，宜可知也。按：此四雀一燕與一雀五燕，其重等，是三雀四燕重相當，雀率重四，燕率重三也。諸再程之率，皆可異術求之，卽其數也。

今有五家共井，甲二綆不足，如乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆；各得所不足一綆。皆逮。問井深、綆長各幾何？

荅曰：井深七丈二尺一寸。甲綆長二丈六尺五寸，乙綆長一丈九尺一寸，丙綆長一丈四尺八寸，丁綆長一丈二尺九寸，戊綆長七尺六寸。此率初如方程爲之，名各一，逮井其後法得七百二十一，實七十六。

此麻麥與均輸、少廣章之重衰積分，皆爲大事。其拙於精理，徒按本術者，或用算而布氊方，好煩而喜誤，曾不知其非，反欲以多爲貴。故其算也，莫不闇於設通，而專於一端。至於此類，苟務其成，然或失之，不可謂要約。更有異術者，庖丁解牛，游刃理閒，故能歷久其刃如新。夫數猶刃也，易簡用之則動中庖丁之理，故能和神愛刃，速而寡尤。凡九章爲大事按法，皆不盡一百算也。雖布算不多，然足以算多。世人多以方程爲難，或盡布算之象，在綴正負而已，未暇以論其設動無方，斯膠柱調瑟之類，聊復恢演，爲作新術，著之於此。將亦啓導疑意，網羅道精，豈傳之空言？記其施用之例，著䇿之數，每舉一隅焉。

其一術曰：置羣物通率爲列衰，更置減行羣物之數，各以其率乘之，并以爲法。其當相并而行中正負雜者，同名相從，異名相消，餘爲法，以減行下實乘列衰，各自爲實。實如法而一。卽得以舊術爲之。凡應置五行，今欲要約，先置第三行以減第四行及減第三行；次置第二行，以第二行減第三行，去其頭位；次置右行，去其頭位；次以第四行減左行頭位；次以左行去第四行及第二行頭位；次以第五行減第二行頭位，餘可半。次以第二行去第四行頭位，餘約之爲法。實如法而一，得空卽，有黍價。以法減第二行，得荅價，左行得麥價，第三行麻價，右行得菽價。如此凡用七十七算。以新術爲此，先以第四行減第三行，次以第三行去右行及第二行第四行下位，又以減右行下位，不足減乃止。次以左行減第三行下位，次以第三行去左行下位訖，廢去第三行；次以第四行去左行下位，右行當左行下位，次以右行去第二行及第四行下位，次以第二行減第四行及左行頭位，次以第四行減右行菽位，不足減乃止。次以左行減第二行頭位，餘可再半。次以第四行去右行及第二行頭位，次以第二行去右行頭位，餘約之，上得五，下得三，是菽五當荅三。次以左行去第三行菽位，又以減第四行及右行菽位，不足減乃止。次以右行減第二行頭位，不足減乃止。次以第三行去左行頭位，次以左行去右行頭位，餘上得六，下得五，是爲荅六，當黍五。次以右行去左行荅位，餘約之，上爲二，下爲三。次以左行去第二行下位，以第二行去第四行下位，又以減左行下位，次右行去第二行下位，餘上得三、下得四，是爲麥三當菽四。次以第二行減第四行下位，次以第四行去第二行下位，餘上得四、下得七，是爲麻四當麥七。是爲相當之率舉矣。九章算術卷八終。