九章算術卷第六

九章算術卷第六

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉　勅注釋

均輸，

今有均輸粟，甲縣一萬戸，行道八日；乙縣九千五百戸，行道十日；丙縣一萬二千三百五十戸，行道十三日；丁縣一萬二千二百戸，行道二十日，各到輸所。凡四縣賦當輸二十五萬斛，用車一萬乘，欲以道里遠近、戸數多少衰出之。問粟、車各幾何？

荅曰：

甲縣粟八萬三千一百斛，車三千三百二十四乘；

乙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘；

丙縣粟六萬三千一百七十五斛，車二千五百二十七乘；

丁縣粟四萬五百五十斛，車一千六百二十二乘。

均輸。術曰：令縣戸數各如其本行道日數而一，以爲衰。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并爲法。以賦粟車數乘未并者，各自爲實。實如法得一車。有分者，上下軰之。以二十五斛乘車數，卽粟數。

今有均輸卒，甲縣一千二百人，薄塞；乙縣一千五百五十人，行道一日；丙縣一千二百八十人，行道二日；丁縣九百九十人，行道三日；戊縣一千七百五十人，行道五日。凡五縣賦輸卒一月一千二百人，欲以遠近戸率多少衰出之。問縣各幾何？

荅曰：

甲縣二百二十九人，

乙縣二百八十六人，

丙縣二百二十八人，丁縣一百七十一人，

戊縣二百八十六人。

術曰：令縣卒各如其居所及行道日數而一，以爲衰。甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并爲法。以人數乘未并者，各自爲實。實如法而一。有分者，上下軰之。

今有均賦粟，甲縣二萬五百二十戸，粟一斛二十錢，自輸其縣。乙縣一萬二千三百一十二戸，粟一斛十錢，至輸所二百里。丙縣七千一百八十二戸，粟一斛十二錢，至輸所一百五十里。丁縣一萬三千三百三十八戸，粟一斛十七錢，至輸所二百五十里。戊縣五千一百三十戸，粟一斛十三錢，至輸所一百五十里。凡五縣賦輸粟一萬斛，一車載二十五斛，與僦一里一錢。欲以縣戸賦粟，令費勞等，問縣各粟幾何？

荅曰：

甲縣三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七，

乙縣二千三百八十斛、二千八百七十三分斛之二千二百六十。

丙縣一千三百八十八斛、二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁縣一千七百一十九斛、二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊縣九百三十九斛、二千八百七十三分斛之二千二百五十三。

術曰：以一里僦價乘至輸所里，以一車二十五斛除之，加一斛粟價，則致一斛之費。各以約其戸數爲衰。甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。副并爲法。所賦粟乘未并者，各自爲實。實如法而一。

今有均賦粟：甲縣四萬二千算，粟一斛二十，傭價一日一錢，自輸其縣；乙縣三萬四千二百七十二算，粟一斛十八，傭價一日十錢，到輸所七十里；丙縣一萬九千三百二十八算，粟一斛十六，傭價一日五錢，到輸所一百四十里；丁縣一萬七千七百算，粟一斛十四，傭價一日五錢，到輸所一百七十五里；戊縣二萬三千四十算，粟一斛十二，傭價一日五錢，到輸所二百一十里；已縣一萬九千一百三十六算，粟一斛一十，傭價一日五錢，到輸所二百八十里。凡六縣，賦粟六萬斛，皆輸甲縣。六人共車，車載二十五斛，重車日行五十里，空車日行七十里，載輸之間各一日。粟有貴賤，傭各别價以算，出錢，令費勞等。問縣各粟幾何？

荅曰：

甲縣一萬八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九；

乙縣一萬八百二十七斛一百三十三分斛之九。丙縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。

丁縣六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。

戊縣九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。

己縣七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。

術曰：以車程行空、重相乘爲法，并空、重以乘道里，各自爲實。實如法得一日。加載輸各一日，而以六人乘之。又以傭價乘之，以二十五斛除之，加一斛粟價卽致一斛之費。各以約其算數爲衰，副并爲法。以所賦粟乘未并者，各自爲實。實如法得一斛。

今有粟七斗，三人分春之一人爲糲米，一人爲粺米，一人爲糳米，令米數等，問取粟、爲米各幾何？荅曰：

糲米取粟二斗一百二十一分斗之一十。

粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。

糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三，

爲米各一斗六百五分斗之一百五十一。術曰：列置糲米三十、粺米二十七、糳米二十四，而反衰之，副并爲法。以七斗乘未并者，各自爲取粟實。實如法得一斗。若求米等者，以本率各乘定所取粟爲實。以粟率五十爲法，實如法得一斗。

今有人當稟粟二斛，倉無粟，欲與米一、菽二，以當所稟粟。問各幾何？

荅曰：

米五斗一升七分升之三，

菽一斛二升七分升之六。

術曰：置米一、菽二，求爲粟之數。并之，得三、九分之八，以爲法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自爲實。實如法得一斛。

今有取傭負鹽二斛，行一百里，與錢四十。今負鹽一斛七斗三升，少半升，行八十里。問與錢幾何？

荅曰：二十七錢、十五分錢之十一。

術曰：置鹽二斛升數，以一百里乘之爲法。以四十錢乘今負鹽升數，又以八十里乘之爲實。實如法得一錢。今有負籠重一石一十七斤，行七十六步五十返，今負籠重一石，行百步。問返幾何？

荅曰：五十七返。二千六百三分返之，一千六百二十九。

術曰：以故所行步數乘故籠重斤數爲法。今籠重斤數乘今步，又以返數乘之，爲實。實如法得一返。

今有程傳委輸，空車日行七十里，重車日行五十里，今載太倉粟輸上林，五日三返。問：太倉去上林幾何？

荅曰：四十八里、十八分里之十一。

術曰：并空、重里數，以三返乘之爲法，令空、重相乘，又以五日乘之，爲實。實如法得一里。

今有絡絲一斤爲練絲十二兩，練絲一斤爲靑絲一斤十二銖。今有靑絲一斤。問本絡絲幾何？

荅曰：一斤四兩十六銖三十三分銖之十六。

術曰：以練絲十二兩乘靑絲一斤十二銖爲法。以靑絲一斤銖數乘練絲一斤兩數，又以絡絲一斤乘之爲實。實如法得一斤。

今有惡粟二十斗，春之得糲米九斗。今欲求粺米十斗，問惡粟幾何？

荅曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。

術曰：置糲米九斗，以九乘之爲法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以惡粟二十斗乘之，爲實。實如法得一斗。

今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。問幾何步及之？

荅曰：二百五十步。

術曰：置善行者一百步，減不善行者六十步，餘四十步，以爲法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步爲實。實如法得一步。今有不善行者先行十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。問善行者幾何里及之？

荅曰：三十三里少半里。

術曰：置不善行者先行十里，以善行者先至二十里增之，以爲法。以不善行者先行十里，乘善行者一百里爲實。實如法得一里。今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。問犬不止，復行幾何步及之？

荅曰：一百七步七分步之一。

術曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步減之，餘爲法。以不及三十步乘犬追步數爲實。實如法得一步。今有人持金十二斤出關，關稅之，十分而取一。今關取金二斤，償錢五千。問金一斤値錢幾何？

荅曰：六千二百五十。

術曰：以十乘二斤，以十二斤減之，餘爲法。以十乘五千爲實。實如法得一。

今有客馬日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃覺，持衣追及，與之而還，至家視日四分之三。問：主人馬不休，日行幾何？荅曰：七百八十里。

術曰：置四分日之三，除三分日之一半，其餘以爲法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，爲實。實如法得主人馬一日行。

今有金箠長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤。問次一尺各重幾何？荅曰：末一尺重二斤。

次一尺重二斤八兩。

次一尺重三斤。

次一尺重三斤八兩；

次一尺重四斤。

術曰：令末重減本重，餘卽差率也。又置本重，以四間乘之，爲下第一衰。副置，以差率減之，每尺各自爲衰。副置下第一衰以爲法。以本重四斤徧乘列衰，各自爲實。實如法得一斤。

今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等。問各得幾何？荅曰：

甲得一錢六分錢之二，

乙得一錢六分錢之一，

丙得一錢，

丁得六分錢之五，

戊得六分錢之四。

術曰：置錢錐行衰，并上二人爲九，并下三人爲六，六少於九，三以三均加焉。副并爲法。以所分錢乘未并者，各自爲實。實如法得一錢。今有竹九節，下三節容四升，上四節容三升。問中間二節欲均容各多少？

荅曰：

下初一升六十六分升之二十九，次一升六十六分升之二十二，

次一升六十六分升之一十五，

次一升六十六分升之八，

次一升六十六分升之一，

次，六十六分升之六十；次，六十六分升之五十三；

次，六十六分升之四十六；

次，六十六分升之三十九。

術曰：以下三節分四升爲下率，以上四節分三升爲上率。上下率以少減多，餘爲實。置四節、三節各半之，以減九節，餘爲法。實如法得一升。卽衰相去也。下率，一升。少半升者，下第二節容也。

今有鳬起南海，七日至北海；鴈起北海，九日至南海。今鳬、鴈俱起。問何日相逢？

荅曰：三日十六分日之十五。

術曰：并日數爲法，日數相乘爲實。實如法得一日。

今有甲發長安，五日至齊。乙發齊，七日至長安。今乙發已先二日，甲乃發長安。問：幾何日相逢？

荅曰：二日十二分日之一。

術曰：并五日、七日以爲法。以乙先發二日，減七日，餘以乘甲日數爲實。實如法得一日。

今有一人三日爲牡瓦三十八枚，一人二日爲牝瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牝牡相半，問成瓦幾何？

荅曰：二十五枚少半枚。

術曰：并牝牡爲法，牝牡相乘爲實。實如法得一枚。

今有一人一日矯矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日筈矢十五。今令一人一日自矯、羽、筈。問成矢幾何？

荅曰：八矢少半矢。

術曰：矯矢五十，用徒一人。羽矢五十，用徒一人、太半人。筈矢五十，用徒三人、少半人。并之得六人，以爲法。以五十矢爲實。實如法得一矢。

今有假田，初假之歲三畝一錢，明年四畝一錢，後年五畝一錢。凡三歲得一百。問田幾何？

荅曰：一頃二十七畝四十七分畝之三十一。

術曰：置畝數及錢數，令畝數互乘錢數，并以爲法。畝數相乘，又以百錢乘之，爲實。實如法得一畝。

今有程耕一人一日發七畝，一人一日耕三畝，一人一日耰種五畝。今令一人一日自發耕耰種之。問治田幾何？

荅曰：一畝一百一十四步七十一分步之六十六。

術曰：置發、耕、耰畝數，令互乘人數并以爲法，畝數相乘爲實。實如法得一畝。

今有池，五渠注之。其一渠開之少半日一滿；次一日一满；次，二日半一滿；次三日一满；次五日一滿。今皆決之。問幾何日滿池？

荅曰：七十四分日之十五。

術曰：各置渠一日滿池之數，并以爲法。以一日爲實。實如法得一日。其一術列置日數及滿數，令日互相乘，滿并以爲法，日數相乘爲實。實如法得一日。

今有人持米出三關，外關三而取一，中關五而取一，内關七而取一，餘米五斗。問本持米幾何？

荅曰：十斗九升、八分升之三。

術曰：置米五斗，以所稅者三之、五之、七之，爲實。以餘不稅者、二、四、六互相乘爲法。實如法得一斗。

今有人持金出五關，前關二而稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一。并五關所稅，適重一斤。問本持金幾何？

荅曰：一斤三兩四銖五分銖之四。

術曰：置一斤，通所稅者以乘之爲實。亦通其不稅者，以減所通，餘爲法。實如法得一斤。

九章算術卷第六終，

九章算術卷六訂訛

休寧戴震東原

臣淳風等謹按：爲衰於今有術，副并爲所有率，未并者各爲所求率，以賦卒人數爲所有數。此術以别考，則意同，以廣異聞，故存之也。

計經賦之率，旣有戸算之率，亦有遠近貴賤之率。此二率者，各自相與通，通則甲二十，乙十二，丙七、丁十三，戊五。一斛之費，謂之錢率。錢率約戸率者，則錢爲母，戸爲子，子不齊，令母互乘爲齊卽衰也。若其不然，以一斛之費約戸數取衰，並有分，當通分内子約之，於算甚繁。此一章皆相與通功共率畧相依，似以上二率，下一率亦可放此，從其簡易而巳。又以分言之，使甲一戸出二十分斛之一，乙一戸出十八分斛之一，各以戸數乘之，亦可得一縣，凡所當輸，俱未衰也。乘之者，乘其子母報除之。以此觀之，則以一斛之費約戸數者，其意不異矣。然則可置一斛之費而反衰之，約戸以乘戸數爲衰也。合分注曰：母除爲率，率乘子爲齊。反衰法曰：先同其母，各以分母約其子，爲反衰。施其率爲算旣約，且不妨處下也。

術曰：以下三節分四升爲下率，以上四節分三升爲上率。

上下率以少減多，餘爲實。置四節、三節各半之，以減九節，餘爲法。實如法得一升，卽衰相去也。