九章算術卷九

九章算術卷九

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉　勅注釋

句股。

今有句三尺，股四尺，問爲弦幾何？荅曰：五尺。

今有弦五尺，句三尺。問爲股幾何？荅曰：四尺。

今有股四尺，弦五尺。問爲句幾何？荅曰：三尺。

句股

術曰：句、股各自乘，并而開方除之，卽弦

又股自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，卽句；又句自乘，以減弦自乘，其餘開方除之，卽股。

今有圓材徑二尺五寸，欲爲方版，令厚七寸。問廣幾何？

荅曰：二尺四寸五分。

術曰：令徑二尺五寸自乘，以七寸自乘，減之，其餘，開方除之，卽廣。

今有木長二丈，圍之三尺，葛生其下，?木七周，上與木齊。問葛長幾何？

荅曰：二丈九尺。

術曰：以七周乘三圍爲股，木長爲句，爲之求弦。弦者，葛之長。

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問水深、葭長各幾何？

荅曰：

水深一丈二尺，

葭長一丈三尺。

術曰：半池方自乘，以出水一尺自乘減之，餘倍出水除之，卽得水深。加出水數，得葭長。

今有立木繫索其末，委地三尺，引索郤行，去本八尺而索盡。問索長幾何？

荅曰：一丈二尺二十一分尺之一。術曰：以去本自乘，令如委數而一，所得，加委地數而半之，卽索長。

今有垣高一丈，倚木於垣，高與垣齊，引木郤行一尺，其木至地。問木幾何？

荅曰：五丈五寸。

術曰：以垣高十尺自乘，如郤行尺數而一。所得以加郤行尺數而半之，卽木長數。

今有圓材埋在壁中，不知大小，以鐻鐻之，深一寸，鐻道長一尺。問徑幾何？

荅曰：材徑二尺六寸。

術曰：半鐻道自乘，如深寸而一，以深寸增之，卽材徑。

今有開門去閫一尺，不合二寸。問門廣幾何？荅曰：一丈一寸。

術曰：以去閫一尺自乘，所得以不合二寸半之而一，所得增不合之半，卽得門廣。

今有戸高多於廣六尺八寸，兩隅相去適一丈。問戸高、廣各幾何？荅曰：

廣二尺八寸，

高九尺六寸。

術曰：令一丈自乘爲實。半相多，令自乘，倍之，減實，半其餘，以開方除之，所得，減相多之半，卽戸廣；加相多之半，卽戸高。

今有戸不知高廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。問戸高、廣、袤各幾何？

荅曰：

廣六尺，

高八尺，衺一丈。

術曰：從、橫不出相乘，倍而開方除之，所得，加從不出卽戸廣，加橫不出卽戸高，兩不出加之，得戸袤。

今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。問折者高幾何？

荅曰：四尺二十分尺之十一。

術曰：以去本自乘，令如高而一，所得，以減竹高，而半其餘，卽折者之高也。

今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙東行，甲南行十步，而邪東北與乙會。問甲、乙行各幾行？

荅曰：

乙東行十步半，

甲邪行十四步半，及之。

術曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以爲甲邪行率。邪行率減於七自乘，餘爲南行率。以三乘七，爲乙東行率。置南行十步，以甲邪行率乘之；副置十步，以乙東行率乘之。各自爲實。實如南行率而一，各得行數。

今有句五步，股十二步。問句中容方幾何？

荅曰：方三步十七分步之九。術曰：并句、股爲法，句、股相乘爲實。實如法而一，得方一步。

今有句八步，股十五步。問句中容圓徑幾何？荅曰：六步。術曰：八步爲句，十五步爲股，爲之求弦。三位并之爲法，以句乘股，倍之爲實。實如法得徑一步。

今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木。問出南門幾何步而見木？

荅曰：六百六十六步。太半步：

術曰：出東門步數爲法，半邑方自乘爲實，實如法得一步。今有邑，東西七里，南北九里，各中開門，出東門十五里有木。問出南門幾何步而見木？

荅曰：三百一十五步。

術曰：東門南至隅步數以乘南門東至隅步數爲實。以木去門步數爲法。實如法而一。

今有邑方，不知大小，各中開門，出北門三十步有木，出西門七百五十步見木。問邑方幾何？荅曰：一里。

術曰：令兩出門步數相乘，因而四之，爲實。開方除之，卽得邑方。

今有邑方不知大小，各中開門，出北門二十步有木。出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問邑方幾何？

荅曰：二百五十步。術曰：以出北門步數乘西行步數，倍之，爲實。并出南門步數爲從法。開方除之，卽邑方。

今有邑方十里，各中開門。甲、乙俱從邑中央而出，乙東出，甲南出。出門不知步數，邪向東門，磨邑，適與乙會。率甲行五，乙行三。問甲、乙行各幾何？

荅曰：

甲出南門八百步，邪東北行四千八百八十七步半。及乙、

乙東行四千三百一十二步半。

術曰：令五自乘，三亦自乘，并而半之，爲邪行率。邪行率減於五自乘者，餘爲南行率。以三乘五，爲乙東行率。置邑方，半之，以南行率乘之，如東行率而一，卽得出南門步數。以增邑方，半卽南行。置南行步。求弦者以邪行率乘之，求東者以東行率乘之，各自爲實。實如南行率得一步。

有木去人不知遠近。立四表，相去各一丈，令左兩表與所望參相直，從後右表望之，入前右表三寸。問：木去人幾何？荅曰：三十三丈三尺三寸少半寸。

術曰：令一丈自乘爲實。以三寸爲法。實如法而一。

有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木東三里，望木末，適與山峯斜平，人目高七尺。問山高幾何？

荅曰：一百六十四丈九尺六寸太半寸。

術曰：置木高，減人目高七尺，餘以乘五十三里爲實。以人去木三里爲法。實如法而一，所得加木高卽山高。

今有井徑五尺，不知其深，立五尺木於井上，從木末望水岸，入徑四寸。問井深幾何？

荅曰：五丈七尺五寸。術曰：置井徑五尺，以入徑四寸減之，餘以乘立木五尺爲實，以入徑四寸爲法。實如法得一寸。九章算術卷之九終。錢唐莫濰校，字大淸，乾隆三十八年癸巳秋。闕里孔氏依汲古閣影宋刻本重雕。秘書省

九章算術一部，共九冊。

元豐七年九月日校定。降授宣德郎秘書省校書郞葉祖洽上進。校定，承議郎行秘書省校書郎王仲脩校定，朝奉郎行秘書省校書郎錢長?、奉議郎守秘書郞丞韓宗古、

朝請郎試秘書少監趙彦若，

元豐七年九月二十八日

進呈，奉

御寶批：宐依已校定鏤板。

朝奉郎、祕書丞、上騎都尉、賜緋魚袋韓　治，朝散郎、試祕書少監、上騎都尉、賜緋魚袋顧　臨，朝議大夫、守祕書少監、上䕶軍、賜紫金魚袋劉　攽，中大夫、守尙書右丞、䕶軍、東平郡開國侯、食邑貳千叁百戸、賜紫金魚袋呂大防、通議大夫、守尙書左丞、上柱國、平原郡開國公、食邑貳千捌百戸、食實封伍伯戸李清臣、正議大夫、守中書侍郞、上柱國、馮翊郡開國公、食邑貳千叁百戸、食實封伍伯戸張　璪，正議大夫、守門下侍郎、上柱國、南陽郡開國公、食邑貳千壹百戸、食實封壹阡戸韓　維，金紫光祿大夫、守尙書右僕射兼中書侍郎、上柱國、東平郡開國公，食邑六千二百戸、食實封壹阡玖伯戸。呂公著，正議大夫、守尙書左僕射、兼門下侍郎、上柱國、河内郡開國公、食邑四千一百戸、食實封壹阡伍伯戸。司馬光

九章算術卷九訂訛補圖

休寧　戴　震　東原

句股弦互求圖，

據圍廣木長，求葛之長，其形葛卷裏袤以筆管靑線宛轉，有似葛之?木。解而觀之，則每周之閒自有相閒成句股弦，則其閒木長爲股，圍之爲句，葛長爲弦，弦七周乘三圍，是并合衆句以爲一句，則句長而股短，故術以木長謂之句，圍之謂之股，言之倒互句與股。求弦，亦如前圖。句三自乘爲朱幂，股四自乘爲靑幂，合朱靑二十五爲弦，五自乘幂出上第一圖，句、股幂合爲弦幂明矣。然二幂之數，謂倒在於弦幂之中，而已可更相裏者，則成方幂，其居表者，則成矩幂，二表裏形訛而數均。又按：此圖句幂之矩靑卷白表，是其幂以句股弦差爲廣，股弦并爲袤，而股幂方其裏。股幂之矩靑卷白表是其幂以句弦差爲廣，句弦并爲袤，而句幂方其裏。是故差之與并用，除之短長互相乘也。句股差句股并與弦互求之圖

股實之矩圖

句實之矩圖

臣淳風等謹按：下鐻深得一寸爲半股弦差。注云：爲股弦差者，鐻道也。股弦卽高廣袤，其出此圖也。其倍弦爲廣袤，合矩句卽爲幂，得廣卽句股差。其矩句之幂，倍爲從法開之，亦句股差。其餘以句股幂減半，其餘差爲從法，開方除之，卽句也。句實廣袤合圖、

股實廣袤合圖。

句弦差、股弦差。求句股弦之圖

術曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以爲甲邪行率。邪行率減於七自乘，餘爲南行率。以三乘七，爲乙東行率。股與句弦并，求句弦之圖，

句、股相乘爲朱靑、黃幂各二，令黃幂連於下隅，朱靑各以類合，共成修幂。中方黃爲廣，并句股爲袤，故并句股爲法。幂圖方在句中，則方之兩亷各自成小句股，而其相與之勢不失本率也。句面之小股，股面之小句，從橫相連，合而成中方。令股爲中方率，并句、股爲廣率，據見句五步而今有之，得中方也。復令句爲中方率，以并句、股爲袤率，據股一十二步而今有之，則中方又可知。此則雖不效而法實有，法由生矣。句股容方圖，

句、股相乘，爲圖之本體。朱靑黄幂各二，則倍之爲各四，可用畫於小?，分裁邪正之會，令顛倒相補，各以類合成修幂。圓徑爲廣，並句、股、弦爲袤，故并句、股、弦以爲法。又以圖之大體言之，股中靑必令立規於橫廣，句、股又邪三徑均，而復連規從橫量度，句、股必合而成小方矣。又畫中弦以觀其會，則句、股之中成小句、股、弦四者，句面之小股，股面之小句，皆小方之面，皆圓徑之半其數，故可衰。以句、股、弦爲列衰，副并爲法，以小句乘未并者，各自爲實。實如法而一，得句面之小股可知也。以股乘列衰爲實，則得股面之小句可知。言雖異矣，及其所以成法之實，則同歸矣。則圓徑又可以句乘之差并句弦差減股爲圓徑。

九章之術，乃算術之鼻祖，囊括後賢，胥不能度越範圍焉，猶六經之臨百氏也。周官保氏九數，鄭君以九章之方田粟米，衰分少廣，商功均輸、方程嬴不足。旁要釋之，綴曰：今有重差、夕桀、句股也。錢曉徵學士以爲夕桀乃互椉之脫誤，良然。蓋九章句股篇末有望遠、度高、測深七術，或析之名曰九章重差、互椉卽方程術所謂維椉是也。句股卽旁要疏所云：今九章以句股替旁要。旁要云者，不必實有是形，可自旁假設，以要取之。祖冲之謂之綴術疏。又引馬氏融注，今有重差夕桀，馬氏不連及句股者，以句股替旁要，故不重舉。劉徽序云：漢張蒼、耿壽昌因舊文遺殘，各稱刪補，故校其目，與古或異，而所論多近語。所謂目與古異者，則句股替旁要是也。至唐王孝通云：校其條目，頗與古術不合，則妄而敢矣。夫古今豈有異術哉！劉徽因其有望遠諸術，遂造重差，綴於句股之下。卽今海島算，引而申之，觸類而長之，事之宜也。舊有圖，今缺，余友休寧東原戴先生補之，今分附諸篇之末，亦猶劉徽之綴重差於句股焉。乾隆癸巳，闕里孔繼涵識於京師壽雲簃之敏事齋九章算術卷九終。