九章算術卷七

九章算術卷七

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等　奉勅注釋

盈不足。

今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四。問人數、物價各幾何？

荅曰：七人，

物價五十三。

今有共買鷄，人出九，盈十一，人出六，不足十六。問人數、鷄價各幾何？

苔曰：九人，

鷄價七十。

今有共買璡，人出半，盈四，人出少半，不足三。問人數？璡價各幾何？

荅曰：四十。二人

璡價十七。

今有共買牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。問家數、牛價各幾何？

荅曰：一百二十。六家

牛價三千七百五十，

盈不足。

術曰：盈、不足相與同共買物者，置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，并以爲實。并盈不足爲法。有分者通之。副置所出率，以少減多，餘以約法、實。實爲物價，法爲人數。其一術曰：并盈不足爲實。以所出率以少減多，餘爲法。實如法得一人，以所出率乘之，減盈增不足，卽物價。

今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。問人數、金價各幾何？

荅曰：三十三人，

金價九千八百。

今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。問人數、羊價各幾何？

荅曰：二十一人，

羊價一百五十

兩。盈兩、不足。

術曰：兩盈、兩不足，相與同共買物者，置所出率，盈、不足各居其下。令維乘所出率，以少減多，餘爲實。兩盈兩不足，以少減多餘爲法。有分者通之。副置所出率，以少減多餘，以約法、實。實爲物價，法爲人數。

其一術曰：置所出率，以少減多。餘爲法。兩盈兩不足，以少減多。餘爲實。實如法而一，得人數。以所出率乘之，減盈、増不足，卽物價。

今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數、豕價各幾何？

荅曰：一十人。

豕價九百。

今有共買犬，人出五，不足；九十；人出五十，適足。問人數、犬價各幾何？

荅曰：二人。

犬價一百，

盈，適足。不足，適足。

術曰：以盈及不足之數爲實。置所出率，以少減多，餘爲法。實如法得一人。其求物價者，以適足乘人數，得物價。

今有米在十斗桶中，不知其數，滿中添粟而舂之，得米七斗。問故米幾何？

荅曰：二斗五升。

術曰：以盈不足術求之。假令故米二斗，不足二升；令之三斗，有餘二升。今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺。問幾何日相逢，瓜、瓠各長幾何？

荅曰：五日十七分日之五。

瓜長三尺七寸十七分寸之一。

瓠長五尺二寸十七分寸之十六。

術曰：假令五日，不足五寸。令之六日，有餘一尺二寸。

今有蒲生一日，長三尺；莞生一日，長一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。問幾何日而長等？

荅曰：二日十三分日之六，

各長四尺八寸十三分寸之六。

術曰：假令二日，不足一尺五寸。令之三日，有餘一尺七寸半。

今有垣厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問：幾何日相逢，各穿幾何？

荅曰：二日十七分日之二。

大鼠穿三尺四寸十七分寸之十二，小鼠穿一尺五寸十七分寸之五。術曰：假令二日不足五寸，令之三日有餘三尺七寸半，大鼠日倍二日，合穿三尺。小鼠日自半合穿一尺五寸。并大鼠所穿合尺五寸，課於垣厚五尺，是爲不足五寸。令之三日，大鼠穿得七尺，小鼠穿得一尺七寸半。并之，以減垣厚五尺，有餘三尺七寸半。以盈不足術求之，卽得。以後一日所穿乘日分子，如日分母而一，卽，各得日分子之中所穿。故各増二日定穿卽合所問也。今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十。今將錢三十，得酒二斗。問醇、行酒各得幾何？

荅曰：醇酒二升半，

行酒一斗七升半。

術曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有餘一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。今有大器五，小器一，容三斛；大器一，小器五，容二斛。問大、小器各容幾何？

荅曰：大器容二十四分斛之十三，小器二十四分斛之七。

術曰：假令大器五斗，小器亦五斗，盈十斗。令之大器五斗五升，小器二斗五升，不足二斗。

今有漆三，得油四，油四和漆五。今有漆三斗，欲令分以易油，還自和餘漆。問出漆、得油、和漆各幾何？

荅曰：出漆一斗一升四分升之一。得油一斗五升，

和漆一斗八升四分升之三。

術曰：假令出漆九升，不足六升。令之出漆一斗二升，有餘二升。

今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重六兩。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。問玉、石重各幾何？荅曰：玉十四寸，重六斤二兩。石十三寸，重四斤十四兩。

術曰：假令皆玉，多十三兩。令之皆石，不足十四兩。不足爲玉，多爲石。各以一寸之重乘之，得玉、石之積重。

今有善田一畝，價三百；惡田七畝，價五百。今并買一頃，價錢一萬。問善、惡田各幾何？

荅曰：善田十二畝半，

惡田八十七畝半。

術曰：假令善田二十畝，惡田八十畝，多一千七百一十四錢、七分錢之二。令之善田十畝，惡田九十畝，不足五百七十一錢七分錢之三。

今有黃金九枚，白銀十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩。問金、銀一枚各重幾何？

荅曰：金重二斤三兩十八銖，銀重一斤十三兩六銖。

術曰：假令黃金三斤，白銀二斤十一分斤之五，不足四十九。於右行令之，黃金二斤，白銀一斤十一分斤之七，多十五，於左行。以分母各乘其行内之數，以盈、不足維乘所出率，并以爲實。并盈、不足爲法。實如法，得黃金重。分母乘法以除，得銀重。約之，得分也。

今有良馬與駑馬發長安至齊。齊去長安三千里。良馬初日行一百九十三里，日增十三里。駑馬初日行九十七里，日減半里。良馬先至齊，復還迎駑馬。問幾何日相逢及各行幾何？

荅曰：十五日一百九十一分日之一百三十五而相逢。

良馬行四千五百三十四里一百九十一分里之四十六，

駑馬行一千四百六十五里一百九十一分里之一百四十五。

術曰：假令十五日，不足三百三十七里半。令之十六日，多一百四十里。以盈不足維乘假令之數，并而爲實。并盈不足爲法。實如法而一，得日數。不盡者，以等數除之而命分。

今有人持錢之蜀，賈利十三，初返歸一萬四千，次返歸一萬三千，次返歸一萬二千，次返歸一萬一千，後返歸一萬，凡五返歸錢，本利俱盡。問本持錢及利各幾何？

荅曰：本三萬四百六十八，錢三十七萬一千二百九十三分錢之八萬四千八百七十六，利二萬九千五百三十一。錢三十七萬一千二百九十三分錢之二十八萬六千四百一十七。

術曰：假令本錢三萬，不足一千七百三十八錢半。令之四萬，多三萬五千三百九十錢八分。九章算術卷七終，

九章算術卷七訂訛

休寧戴震東原

副置所出率，以少減多，餘以約法實，實爲物價，法爲人數。按此術兩盈者兩設皆逾於正數，兩不足者兩設皆不足於正數。其所以變化，則兩不足，亦猶兩盈，而或有勢同而情違者。當其爲實，俱令不足，其相乘減，則遺其所不足焉。故其餘所以爲實者，無朒數以損焉，葢出而有餘，兩盈兩設，皆逾於正數。

術曰：以盈不足術求之。假令故米二斗，不足二升。令之三斗，有餘二升。

術曰：假令五日，不足五寸。令之六日，有餘一尺二寸。

術曰：假令二日，不足一尺五寸。令之三日，有餘一尺七寸半。

術曰：假令醇酒五升，行酒一斗五升，有餘一十。令之醇酒二升，行酒一斗八升，不足二。

術曰：假令一十五日，不足三百三十七里半。令之一十六日，多一百四十里。以盈、不足維乘假令之數，并而爲實。并盈不足爲法。實如法而一，得日數。不盡者，以等數除之，而命分。

求良馬，行者，一十四乘益疾里數而半之，加良馬初日之行里數。