九章算術卷第一

九章算術卷第一

魏劉徽注

唐朝議大夫行太史令上輕車都尉臣李淳風等奉 勅注釋。

方田，

今有田廣十五步，從十六步，問爲田幾何？荅曰：一畝。

又有田廣十二步，從十四步，問爲田幾何？

荅曰：一百六十八步。

方田術曰：廣從步數相乘得積步，

以畝法二百四十步除之，卽畝數百畝爲一頃。

今有田廣一里，從一里，問爲田幾何？

荅曰：三頃七十五畝。

又有田廣二里，從三里，問爲田幾何？

荅曰：二十二頃五十畝。

里田術曰：廣從里數相乘得積里。以三百七十五乘之，卽畝數。

今有十八分之十二。問約之得幾何？荅曰：三分之二。

又有九十一分之四十九。問約之得幾何？荅曰：十三分之七。

約分

術曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也。以等數約之，

今有三分之一，五分之二。問合之得幾何？

荅曰：十五分之十一。

又有三分之二，七分之四，九分之五。問合之得幾何？

荅曰：得一六十三分之五十。又有二分之一，三分之二，四分之三，五分之四。問合之得幾何？

荅曰：得二。六十分之四十三。

合分

術曰：母互乘子，并以爲實。母相乘爲法。實如法而一，不滿法者，以法命之。其母同者，直相從之。

今有九分之八，減其五分之一。問餘幾何？

荅曰：四十五分之三十一。

又有四分之三，減其三分之一。問餘幾何？荅曰：十二分之五。

減分。術曰：母互乘子，以少減多，餘爲實。母相乘爲法。實如法而一。

今有八分之五，二十五分之十六。問孰多？多幾何？

荅曰：二十五分之十六多，多二百分之三。

又有九分之八，七分之六。問孰多？多幾何？

荅曰：九分之八多，多六十三分之二，

又有二十一分之八，五十分之十七。問孰多？多幾何？

荅曰：二十一分之八多，多一千五十分之四十三。

課分術曰：母互乘子，以少減多，餘爲實。母相乗爲法，實如法而一，卽相多也。

今有三分之一，三分之二，四分之三。問減多益少各幾何而平？

荅曰：減四分之三者二，三分之二者一，并以益三分之一，而各平於十二分之七。

又有二分之一，三分之二，四分之三。問減多益少各幾何而平？

荅曰：減三分之二者一，四分之三者四，并以益二分之一，而各平於三十六分之二十三

平分。術曰：母互乘子，副并爲平實。母相乘爲法，以列數乘未并者，各自爲列實，亦以列數乘法。以平實減列實，餘約之爲所減，并所減以益於少。以法命平實，各得其平。

今有七人分八錢、三分錢之一。問：人得幾何？

荅曰：人得一錢二十一分錢之四。

又有三人，三分人之一，分六錢，三分錢之一，四分錢之三。問人得幾何？

荅曰：人得二錢八分錢之一。

經分

術曰：以人數爲法，錢數爲實。實如法而一。有分者通之，重有分者同而通之。

今有田廣七分步之四，從五分步之三，問爲田幾何？

荅曰：三十五分步之十二。

又有田廣九分步之七，從十一分步之九，問爲田幾何？

荅曰：十一分步之七。

又有田廣五分步之四，從九分步之五，問爲田幾何？荅曰：九分步之四。

乘分術曰：母相乘爲法，子相乘爲實，實如法而一。

今有田廣三步三分步之一，從五步五分步之二，問爲田幾何？

荅曰：十八步。

又有田廣七步四分步之三，從十五步九分步之五，問爲田幾何？荅曰：一百二十步九分步之五。

又有田廣十八步七分步之五，從二十三步十一分步之六，問爲田幾何？

荅曰：一畝二百步十一分步之七。

大廣田

術曰：分母各乘其全，分子從之，相乘爲實，分母相乘爲法，實如法而一。

今有圭田廣十二步，正從二十一步。問爲田幾何？

荅曰：一百二十六步。

又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二。問爲田幾何？

荅曰：二十三步六分步之五。

術曰：半廣以乘正從。今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正從六十四步。問爲田幾何？

荅曰：九畝一百四十四步。

又有邪田，正廣六十五步，一畔從一百步，一畔從七十二步。問爲田幾何？

荅曰：二十三畝七十步。

術曰：并兩邪而半之，以乘正從，若廣。又可半正從若廣以乘，并畝法而一。今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正從三十步。問爲田幾何？

荅曰：一畝一百三十五步。

又有箕田，舌廣一百一十七步，踵廣五十步，正從一百三十五步。問爲田幾何？

荅曰：四十六畝二百三十二步半。

術曰：并踵舌而半之，以乘正，從畝法而一。

今有圓田，周三十步，徑十步。問爲田幾何？荅曰：七十五步。

又有圓田，周一百八十一步，徑六十步三分步之一。問爲田幾何？

荅曰：十一畝九十步十二分步之一。

術曰：半周、半徑相乘得積步。

又術曰：周徑相乘，四而一。

又術曰：徑自相乘，三之，四而一。

又術曰：周自相乘，十二而一。今有宛田，下周三十步，徑十六步。問爲田幾何？荅曰：一百二十步。

又有宛田，下周九十九步，徑五十一步。問爲田幾何？

荅曰：五畝六十二步四分步之一。

術曰：以徑乘周，四而一。

今有弧田，弦三十步，矢十五步。問爲田幾何？

荅曰：一畝九十七步半。

又有弧田，弦七十八步二分步之一，矢十三步九分步之七。問爲田幾何？

荅曰：二畝一百五十五步八十一分步之五十六。

術曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一。

今有環田中周九十二步，外周一百二十二步，徑五步。問爲田幾何？

荅曰：二畝五十五步。又有環田，中周六十二步四分步之三，外周一百一十三步二分步之一，徑十二步三分步之二。問爲田幾何？

荅曰：四畝一百五十六步四分步之一。

術曰：并中、外周而半之，以徑乘之，爲積步。密率術曰：置中、外周步數，分母子各居其下，母互乘子，分母相乘，通全步內分子，并而半之。又可以中周減外周，餘半之，以益中周。徑亦通分內子，以乘周爲實。分母相乘爲法，除之，爲積步。餘積步之分，等數約之，以畝法除之，卽畝數也。

九章算術卷一、

九章算術卷一訂訛補圖

休寧戴震東、原

臣淳風等謹按：母互乘子副并爲平實者，定此平實立限，衆子所當損益。如限爲平，按半周爲從，半徑爲廣，故廣從相乘爲積步也。假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，

圓內容六觚之圖

以九十六觚之幂減之，餘六百二十五分寸之以百五，謂之差幂。倍之，爲分寸之二百一十。

以此術求之，得幂一百六十一寸有奇，其數相近矣。此術微少，而斛差幂六百二十五分寸之一百五，以十二觚之幂爲率，消息當取此分寸之三十六。臣淳風等謹按：依密率，以七乘周，二十二而一卽徑。以二十二乘徑，七而一卽周。依術求之，卽得弧

田

圖。