九章算术卷第六

九章算术卷第六

魏刘徽注

唐朝议大夫行太史令上轻车都尉臣李淳风等奉　勅注释

均输，

今有均输粟，甲县一万戸，行道八日；乙县九千五百戸，行道十日；丙县一万二千三百五十戸，行道十三日；丁县一万二千二百戸，行道二十日，各到输所。凡四县赋当输二十五万斛，用车一万乘，欲以道里远近、戸数多少衰出之。问粟、车各几何？

荅曰：

甲县粟八万三千一百斛，车三千三百二十四乘；

乙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘；

丙县粟六万三千一百七十五斛，车二千五百二十七乘；

丁县粟四万五百五十斛，车一千六百二十二乘。

均输。术曰：令县戸数各如其本行道日数而一，以为衰。甲衰一百二十五，乙、丙衰各九十五，丁衰六十一，副并为法。以赋粟车数乘未并者，各自为实。实如法得一车。有分者，上下軰之。以二十五斛乘车数，即粟数。

今有均输卒，甲县一千二百人，薄塞；乙县一千五百五十人，行道一日；丙县一千二百八十人，行道二日；丁县九百九十人，行道三日；戊县一千七百五十人，行道五日。凡五县赋输卒一月一千二百人，欲以远近戸率多少衰出之。问县各几何？

荅曰：

甲县二百二十九人，

乙县二百八十六人，

丙县二百二十八人，丁县一百七十一人，

戊县二百八十六人。

术曰：令县卒各如其居所及行道日数而一，以为衰。甲衰四，乙衰五，丙衰四，丁衰三，戊衰五，副并为法。以人数乘未并者，各自为实。实如法而一。有分者，上下軰之。

今有均赋粟，甲县二万五百二十戸，粟一斛二十钱，自输其县。乙县一万二千三百一十二戸，粟一斛十钱，至输所二百里。丙县七千一百八十二戸，粟一斛十二钱，至输所一百五十里。丁县一万三千三百三十八戸，粟一斛十七钱，至输所二百五十里。戊县五千一百三十戸，粟一斛十三钱，至输所一百五十里。凡五县赋输粟一万斛，一车载二十五斛，与僦一里一钱。欲以县戸赋粟，令费劳等，问县各粟几何？

荅曰：

甲县三千五百七十一斛二千八百七十三分斛之五百一十七，

乙县二千三百八十斛、二千八百七十三分斛之二千二百六十。

丙县一千三百八十八斛、二千八百七十三分斛之二千二百七十六。丁县一千七百一十九斛、二千八百七十三分斛之一千三百一十三。戊县九百三十九斛、二千八百七十三分斛之二千二百五十三。

术曰：以一里僦价乘至输所里，以一车二十五斛除之，加一斛粟价，则致一斛之费。各以约其戸数为衰。甲衰一千二十六，乙衰六百八十四，丙衰三百九十九，丁衰四百九十四，戊衰二百七十。副并为法。所赋粟乘未并者，各自为实。实如法而一。

今有均赋粟：甲县四万二千算，粟一斛二十，佣价一日一钱，自输其县；乙县三万四千二百七十二算，粟一斛十八，佣价一日十钱，到输所七十里；丙县一万九千三百二十八算，粟一斛十六，佣价一日五钱，到输所一百四十里；丁县一万七千七百算，粟一斛十四，佣价一日五钱，到输所一百七十五里；戊县二万三千四十算，粟一斛十二，佣价一日五钱，到输所二百一十里；已县一万九千一百三十六算，粟一斛一十，佣价一日五钱，到输所二百八十里。凡六县，赋粟六万斛，皆输甲县。六人共车，车载二十五斛，重车日行五十里，空车日行七十里，载输之间各一日。粟有贵贱，佣各别价以算，出钱，令费劳等。问县各粟几何？

荅曰：

甲县一万八千九百四十七斛一百三十三分斛之四十九；

乙县一万八百二十七斛一百三十三分斛之九。丙县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。

丁县六千七百六十六斛一百三十三分斛之一百二十二。

戊县九千二十二斛一百三十三分斛之七十四。

己县七千二百一十八斛一百三十三分斛之六。

术曰：以车程行空、重相乘为法，并空、重以乘道里，各自为实。实如法得一日。加载输各一日，而以六人乘之。又以佣价乘之，以二十五斛除之，加一斛粟价即致一斛之费。各以约其算数为衰，副并为法。以所赋粟乘未并者，各自为实。实如法得一斛。

今有粟七斗，三人分春之一人为粝米，一人为粺米，一人为糳米，令米数等，问取粟、为米各几何？荅曰：

粝米取粟二斗一百二十一分斗之一十。

粺米取粟二斗一百二十一分斗之三十八。

糳米取粟二斗一百二十一分斗之七十三，

为米各一斗六百五分斗之一百五十一。术曰：列置粝米三十、粺米二十七、糳米二十四，而反衰之，副并为法。以七斗乘未并者，各自为取粟实。实如法得一斗。若求米等者，以本率各乘定所取粟为实。以粟率五十为法，实如法得一斗。

今有人当禀粟二斛，仓无粟，欲与米一、菽二，以当所禀粟。问各几何？

荅曰：

米五斗一升七分升之三，

菽一斛二升七分升之六。

术曰：置米一、菽二，求为粟之数。并之，得三、九分之八，以为法。亦置米一、菽二，而以粟二斛乘之，各自为实。实如法得一斛。

今有取佣负盐二斛，行一百里，与钱四十。今负盐一斛七斗三升，少半升，行八十里。问与钱几何？

荅曰：二十七钱、十五分钱之十一。

术曰：置盐二斛升数，以一百里乘之为法。以四十钱乘今负盐升数，又以八十里乘之为实。实如法得一钱。今有负笼重一石一十七斤，行七十六步五十返，今负笼重一石，行百步。问返几何？

荅曰：五十七返。二千六百三分返之，一千六百二十九。

术曰：以故所行步数乘故笼重斤数为法。今笼重斤数乘今步，又以返数乘之，为实。实如法得一返。

今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里，今载太仓粟输上林，五日三返。问：太仓去上林几何？

荅曰：四十八里、十八分里之十一。

术曰：并空、重里数，以三返乘之为法，令空、重相乘，又以五日乘之，为实。实如法得一里。

今有络丝一斤为练丝十二两，练丝一斤为靑丝一斤十二铢。今有靑丝一斤。问本络丝几何？

荅曰：一斤四两十六铢三十三分铢之十六。

术曰：以练丝十二两乘靑丝一斤十二铢为法。以靑丝一斤铢数乘练丝一斤两数，又以络丝一斤乘之为实。实如法得一斤。

今有恶粟二十斗，春之得粝米九斗。今欲求粺米十斗，问恶粟几何？

荅曰：二十四斗六升八十一分升之七十四。

术曰：置粝米九斗，以九乘之为法。亦置粺米十斗，以十乘之，又以恶粟二十斗乘之，为实。实如法得一斗。

今有善行者行一百步，不善行者行六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之。问几何步及之？

荅曰：二百五十步。

术曰：置善行者一百步，减不善行者六十步，余四十步，以为法。以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。实如法得一步。今有不善行者先行十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里。问善行者几何里及之？

荅曰：三十三里少半里。

术曰：置不善行者先行十里，以善行者先至二十里增之，以为法。以不善行者先行十里，乘善行者一百里为实。实如法得一里。今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止。问犬不止，复行几何步及之？

荅曰：一百七步七分步之一。

术曰：置兔先走一百步，以犬走不及三十步减之，余为法。以不及三十步乘犬追步数为实。实如法得一步。今有人持金十二斤出关，关税之，十分而取一。今关取金二斤，偿钱五千。问金一斤値钱几何？

荅曰：六千二百五十。

术曰：以十乘二斤，以十二斤减之，余为法。以十乘五千为实。实如法得一。

今有客马日行三百里，客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉，持衣追及，与之而还，至家视日四分之三。问：主人马不休，日行几何？荅曰：七百八十里。

术曰：置四分日之三，除三分日之一半，其余以为法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，为实。实如法得主人马一日行。

今有金箠长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何？荅曰：末一尺重二斤。

次一尺重二斤八两。

次一尺重三斤。

次一尺重三斤八两；

次一尺重四斤。

术曰：令末重减本重，余即差率也。又置本重，以四间乘之，为下第一衰。副置，以差率减之，每尺各自为衰。副置下第一衰以为法。以本重四斤徧乘列衰，各自为实。实如法得一斤。

今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等。问各得几何？荅曰：

甲得一钱六分钱之二，

乙得一钱六分钱之一，

丙得一钱，

丁得六分钱之五，

戊得六分钱之四。

术曰：置钱锥行衰，并上二人为九，并下三人为六，六少于九，三以三均加焉。副并为法。以所分钱乘未并者，各自为实。实如法得一钱。今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升。问中间二节欲均容各多少？

荅曰：

下初一升六十六分升之二十九，次一升六十六分升之二十二，

次一升六十六分升之一十五，

次一升六十六分升之八，

次一升六十六分升之一，

次，六十六分升之六十；次，六十六分升之五十三；

次，六十六分升之四十六；

次，六十六分升之三十九。

术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。上下率以少减多，余为实。置四节、三节各半之，以减九节，余为法。实如法得一升。即衰相去也。下率，一升。少半升者，下第二节容也。

今有凫起南海，七日至北海；鴈起北海，九日至南海。今凫、鴈俱起。问何日相逢？

荅曰：三日十六分日之十五。

术曰：并日数为法，日数相乘为实。实如法得一日。

今有甲发长安，五日至齐。乙发齐，七日至长安。今乙发已先二日，甲乃发长安。问：几何日相逢？

荅曰：二日十二分日之一。

术曰：并五日、七日以为法。以乙先发二日，减七日，余以乘甲日数为实。实如法得一日。

今有一人三日为牡瓦三十八枚，一人二日为牝瓦七十六枚。今令一人一日作瓦，牝牡相半，问成瓦几何？

荅曰：二十五枚少半枚。

术曰：并牝牡为法，牝牡相乘为实。实如法得一枚。

今有一人一日矫矢五十，一人一日羽矢三十，一人一日筈矢十五。今令一人一日自矫、羽、筈。问成矢几何？

荅曰：八矢少半矢。

术曰：矫矢五十，用徒一人。羽矢五十，用徒一人、太半人。筈矢五十，用徒三人、少半人。并之得六人，以为法。以五十矢为实。实如法得一矢。

今有假田，初假之岁三亩一钱，明年四亩一钱，后年五亩一钱。凡三岁得一百。问田几何？

荅曰：一顷二十七亩四十七分亩之三十一。

术曰：置亩数及钱数，令亩数互乘钱数，并以为法。亩数相乘，又以百钱乘之，为实。实如法得一亩。

今有程耕一人一日发七亩，一人一日耕三亩，一人一日耰种五亩。今令一人一日自发耕耰种之。问治田几何？

荅曰：一亩一百一十四步七十一分步之六十六。

术曰：置发、耕、耰亩数，令互乘人数并以为法，亩数相乘为实。实如法得一亩。

今有池，五渠注之。其一渠开之少半日一满；次一日一满；次，二日半一满；次三日一满；次五日一满。今皆决之。问几何日满池？

荅曰：七十四分日之十五。

术曰：各置渠一日满池之数，并以为法。以一日为实。实如法得一日。其一术列置日数及满数，令日互相乘，满并以为法，日数相乘为实。实如法得一日。

今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗。问本持米几何？

荅曰：十斗九升、八分升之三。

术曰：置米五斗，以所税者三之、五之、七之，为实。以余不税者、二、四、六互相乘为法。实如法得一斗。

今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一。并五关所税，适重一斤。问本持金几何？

荅曰：一斤三两四铢五分铢之四。

术曰：置一斤，通所税者以乘之为实。亦通其不税者，以减所通，余为法。实如法得一斤。

九章算术卷第六终，

九章算术卷六订讹

休宁戴震东原

臣淳风等谨按：为衰于今有术，副并为所有率，未并者各为所求率，以赋卒人数为所有数。此术以别考，则意同，以广异闻，故存之也。

计经赋之率，既有戸算之率，亦有远近贵贱之率。此二率者，各自相与通，通则甲二十，乙十二，丙七、丁十三，戊五。一斛之费，谓之钱率。钱率约戸率者，则钱为母，戸为子，子不齐，令母互乘为齐即衰也。若其不然，以一斛之费约戸数取衰，并有分，当通分内子约之，于算甚繁。此一章皆相与通功共率畧相依，似以上二率，下一率亦可放此，从其简易而巳。又以分言之，使甲一戸出二十分斛之一，乙一戸出十八分斛之一，各以戸数乘之，亦可得一县，凡所当输，俱未衰也。乘之者，乘其子母报除之。以此观之，则以一斛之费约戸数者，其意不异矣。然则可置一斛之费而反衰之，约戸以乘戸数为衰也。合分注曰：母除为率，率乘子为齐。反衰法曰：先同其母，各以分母约其子，为反衰。施其率为算既约，且不妨处下也。

术曰：以下三节分四升为下率，以上四节分三升为上率。

上下率以少减多，余为实。置四节、三节各半之，以减九节，余为法。实如法得一升，即衰相去也。